Nội dung kiến thức về đạo hàm của hàm số vô cùng quan trọng trong chương trình Toán học trung học phổ thông. Vậy đạo hàm là gì? Cách tính đạo hàm như thế nào? Có những công thức tính đạo hàm nào thường gặp nhất? Bài viết sau đây sẽ tổng hợp giúp các bạn học sinh lý thuyết về đạo hàm và các công thức tính đạo hàm thường sử dụng nhất.
Tóm tắt
Đạo hàm trong giải tích, hàm số thực là gì?
Trong giải tích toán học, đạo hàm của một hàm số là mô tả sự biến thiên của hàm số tại một điểm nào đó. Đạo hàm là phép toán ngược lại của tích phân, và là một trong hai khái niệm cơ bản trong giải tích.
Đạo hàm trong hình học là gì?
+ Đạo hàm được biểu diễn trong hình học là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị biểu diễn hàm số.
+ Về vật lý, đạo hàm biểu diễn vận tốc tức thời của một điểm chuyển động hoặc cường độ dòng điện tức thời tại 1 điểm trên dây dẫn.
Định nghĩa đạo hàm là gì?
Cho hàm số y=f(x), được xác định trên khoảng (a;b) và 
(a;b). Giới hạn hữu hạn của tỉ số 
(nếu có) khi x=> được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại . Ký hiệu đạo hàm là f’() hay y’()
Như vậy:
Đặt: x – x = ∆x và ∆y = f(x+∆x) – f(x) thì bạn sẽ được:
Trong đó:
- ∆x là số gia của đối số tại điểm .
- ∆y được gọi là số gia tương ứng của hàm số.
Cách tính đạo hàm
Dựa vào định nghĩa đạo hàm là gì, các bạn học sinh có thể tính đạo hàm của hàm số theo các bước sau:
Nhận xét: Nếu thay x0 = x thì sẽ có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x ∈ (a;b).
Quan hệ giữa tính liên tục và sự tồn tại của đạo hàm
Định lý: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liên tục tại x0.
Lưu ý: Nếu hàm số y = f(x) gián đoạn tại điểm x0 thì nó không có đạo hàm tại điểm x. Tuy nhiên, một hàm số liên tục tại một điểm hoàn toàn có thể không có đạo hàm tại điểm đó.
Một số quy tắc cơ bản và cách tính đạo hàm
Quy tắc cơ bản của đạo hàm
Đạo hàm của các hàm số cơ bản
Đạo hàm của các phân thức hữu tỉ
Đạo hàm của các hàm lượng giác và lượng giác ngược
+ Đạo hàm của các hàm lượng giác là phương pháp tìm tốc độ biến thiên của một hàm số lượng giác theo sự biến thiên của biến số. Các hàm số lượng giác thường gặp nhất là sin(x), cos(x) và tan(x).
+ Biết được đạo hàm của sin(x) và cos(x), ta dễ dàng tìm ra được đạo hàm của các hàm lượng giác còn lại bởi chúng được biểu diễn bằng 2 hàm trên, bằng cách dùng quy tắc thương.
+ Phép chứng minh đạo hàm của sin(x) và cos(x) được giải thích ở bên dưới, và từ đó cho phép tính đạo hàm của các hàm lượng giác khác.
+ Việc tính đạo hàm của hàm lượng giác ngược và các hàm lượng giác thông dụng khác cũng được trình bày ở bên dưới.
Hệ số góc là gì? Hệ số góc của đồ thị hàm số là gì? Lý thuyết
Trên đây là toàn bộ tổng hợp những kiến thức về đạo hàm. Phần kiến thức về đạo hàm vô cùng quan trọng, nó là công cụ để giải nhiều các dạng toán sau này. Vì vậy, các bạn học sinh cần lưu ý hiểu đúng và ghi nhớ các công thức đạo hàm.
