Giai thừa là nội dung kiến thức quá trọng của chương 2 Đại số & Giải tích Toán 11. Vậy khái niệm giai thừa là gì? Bài viết sau đây sẽ cung cấp cho các bạn những thông tin kiến thức liên quan đến giai thừa như định nghĩa, công thức, tính chất của giai thừa cùng những bài tập ví dụ, cùng tham khảo nhé!
Tóm tắt
Giai thừa là gì?
Trong Toán học, giai thừa là hàm quan trọng, dùng để sắp xếp mọi thứ hoặc tập hợp các số có thứ tự. Nói tóm lại, giai thừa là hàm nhân một số với mọi số nhỏ hơn nó.
Phép toán giai thừa được sử dụng phổ biến với công dụng chính là đếm “n” các đối tượng khác biệt có thể có.
Công thức giai thừa
Cách tính giai thừa được thể hiện qua công thức sau:
n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*…*3*2*1
Lưu ý: n là số nguyên dương (với n > 0)
Ví dụ viết chương trình tính giai thừa
- 5 giai thừa bằng bao nhiêu? 5!=5 * 4 * 3 * 2 * 1=120
- 1 giai thừa bằng bao nhiêu? 1!1*1=1
- n giai thừa bằng gì? n! = 1 * 2 * 3 … * n
Cách tính giai thừa trên máy tính bỏ túi
Các bạn có thể áp dụng cách tính giai thừa bằng máy tính Casio fx 580VN Plus, fx 570VN Plus hoặc bất kỳ máy tính bỏ túi nào hiện nay có hỗ trợ tính giai thừa một cách nhanh chóng, hãy nhập:
m → SHIFT → x– 1 → dấu “=”.
Ví dụ: Thực hiện tính 5!, 9! bằng máy tính cầm tay:
- Bấm 5!: 5 → SHIFT → x– 1 → dấu “=”. Kết quả hiển thị: 5! = 120.
- Bấm 9!: 9 → SHIFT → x– 1 → dấu “=”. Kết quả hiển thị: 9! = 362880.
Tính chất của giai thừa
- Tính chất cơ bản: Giai thừa của số nguyên dương n tính bằng cách nhân các số từ 1 đến n lại với nhau.
- Giai thừa của 0: Giai thừa của số 0 được định nghĩa = 1. Tức là 0! = 1.
- Quy tắc đệ quy: Giai thừa có thể được xác định theo quy tắc đệ quy: n! = n * (n – 1)! (Với điều kiện n > 0.)
- Quy tắc đảo ngược: Giai thừa có tính chất đảo ngược, tức n! = 1 / (n * (n – 1) * … × 2 * 1) = 1 / (n-1)!
- Phép nhân giai thừa: Khi nhân một số nguyên dương n với giai thừa của số nguyên dương m, ta có công thức sau: n * m! = (n * m)! / (m – 1)!
- Quy tắc chia giai thừa: Khi chia giai thừa của số nguyên dương n cho giai thừa của một số nguyên dương m (với n > m), ta được có công thức: n! / m! = (n * (n – 1) * … * (m + 1)).
Một số bài toán vận dụng về cách tính giai thừa
Sau khi đã hệ thống lại kiến thức về công thức giai thừa, hãy cùng giải một số ví dụ bài tập về giai thừa sau để hiểu sâu kiến thức nhé.
Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức (2! + 4!) / (2! + 5!)
Giải:
Tính giai thừa của các số:
2! = 2 x 1 = 2
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
2! = 2 x 1 = 2
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Tính giá trị của biểu thức:
(2! + 4!) / (2! + 5!) = (2 + 24) / (2 + 120) = 26 / 122 = 0.213
Vậy giá trị của biểu thức (2! + 4!) / (2! + 5!) là 0.213
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau bằng cách rút gọn giai thừa cơ bản
Giải:
Dễ thấy, n – 1 lớn hơn n – 2 một đơn vị, nên ta có (n – 1)! = (n – 2)!(n – 1) và 6! = 4!5.6
Ví dụ 3: Giải phương trình giai thừa sau:
Giải:
Ta có điều kiện: 
Ta sẽ tìm được x = 2, x = 3 (thỏa mãn điều kiện)
Ví dụ 4: Hãy giải các phương trình sau đây:
- a) m! = 3(m – 1)!;
- b) (m + 1)! + m! = – (m – 1)!;
- c) (m + 2)! – 5m! = 5(m + 1)!.
Giải:
a) Ta có điều kiện sau: .
Ta giải phương trình như sau:
m! = 3(m – 1)!
m(m – 1)! = 3(m – 1)!
m = 3 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình đã cho sẽ có nghiệm là: m = 3.
b) Ta có điều kiện sau:
Ta giải phương trình như sau:
(m + 1)! + m! = – (m – 1)!
(m + 1) m (m – 1)! + m (m – 1)! = – (m – 1)!
(m + 1) m + m = – 1
m2 + 2m + 1 = 0
m = – 1 (không thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
c) Ta có điều kiện sau: .
Ta giải phương trình như sau:
(m + 2)! – 5m! = 5(m + 1)!
(m + 2) (m + 1) . m! – 5m! = 5(m + 1) m!
(m + 2) (m + 1) – 5 = 5(m + 1)
m2 + 3m + 2 – 5 = 5m + 5
m2 – 2m – 8 = 0=> m=4
=> Vậy, phương trình đã cho sẽ có nghiệm là m = 4.
Mong rằng với những kiến thức mà bài viết vừa cung cấp sẽ giúp bạn đọc hiểu được khái niệm giai thừa là gì, đặc điểm, công thức tính gia thừa và vận dụng vào giải bài tập chính xác nhất. Cùng chờ đón những bài tổng hợp kiến thức toán học tiếp theo của Palada.vn để tự tin học giỏi bộ môn Toán nhé.
