Tập hợp là những khái niệm quen thuộc trong toán học, có tính ứng dụng cao trong thực tế. Ở bài viết sau, chúng ta sẽ cùng nhau ôn lại khái niệm tập hợp là gì? z, r, q, n là tập hợp số gì? Các phép toán trên tập hợp gồm những phép toán nào? Cùng tham khảo nhé.
Tóm tắt
Tập hợp là gì?
Trong toán học, tập hợp được hiểu là một sự tổng hợp của một số vô hạn hay hữu hạn những đối tượng nào đó. Những đối tượng này gọi là phần tử của tập hợp.
Các phần tử tạo nên một tập hợp có thể là bất kỳ những loại đối tượng nào: số, ký hiệu, các điểm trong không gian, đường thẳng, những hình dạng hình học, các biến hoặc thậm chí là những tập hợp khác.
Một tập hợp này có thể coi là phần tử của tập hợp khác. Tập hợp trong đó mỗi phần tử của nó là một tập hợp nhỏ hơn hợp lại còn được gọi là họ tập hợp.
Một tập hợp có thể gồm nhiều phần tử hoặc thậm chí là không có phần tử nào.
Ví dụ:
Tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 5 và nhỏ hơn 50
Tập hợp các số từ 1 đến 500
Z là tập hợp số gì?
Tập hợp của các số nguyên được kí hiệu là chữ Z
Z={…-5, -3, -1, 0, 1, 3, 5 …}
Tập hợp các số nguyên gồm các phân tử là số tự nhiên và cả số đối của các số tự nhiên.
Trong khi đó tập hợp các số nguyên dương có kí hiệu là chữ N*
N*={ 1, 3, 5, 7, 9, 11,13,…}
R là tập hợp số gì?
Tập hợp các số thực được quy ước kí hiệu là chữ R
Mỗi số được biểu diễn bằng 1 số thập phân vô hạn không tuần hoàn còn được gọi là một số vô tỉ. Tập hợp các số vô tỉ được quy ước kí hiệu là chữ I. Tập hợp của các số thực gồm các số hữu tỉ + các số vô tỉ.
Q là tập hợp số gì?
Tập hợp các số hữu tỉ được quy ước kí hiệu là chữ Q
Q={a/b; a, b∈Z, b≠0}
Một số hữu tỉ được biểu diễn bằng 1 số thập phân hữu hạn hoặc 1 số thập phân vô hạn tuần hoàn.
N là tập hợp số gì?
Tập hợp bao gồm các số tự nhiên được quy ước với kí hiệu là chữ N
N={4, 8, 10, 12…}
Các phép toán trên tập hợp
Phép toán tập hợp là một khái niệm giống như phép toán cơ bản trên các số. Các tập hợp trong toán học có thể là tập hợp hữu hạn các đối tượng, có thể là số, bảng chữ cái hoặc là bất kỳ đối tượng nào. Đôi khi, thực tế yêu cầu chúng ta thiết lập mối quan hệ giữa 2 hoặc nhiều tập hợp. Các phép toán tập hợp là các phép toán được áp dụng trên 2 hoặc nhiều tập hợp để phát triển mối quan hệ giữa chúng.
Có 4 phép toán trên tập hợp chính bao gồm phép giao, phép hợp, phép hiệu và phép lấy phần bù.
Phép hợp
Với 2 tập hợp A và B đã cho, A∪B (cách đọc là A hợp B) là tập hợp các phần tử phân biệt thuộc cùng tập hợp A và tập hợp B hoặc cả hai. Số phần tử trong A ∪ B chính là n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B), trong đó n(X) là số các phần tử của tập hợp X.
Để hiểu rõ hơn về tập hợp này, chúng ta xét một ví dụ: Nếu A = { 3, 4, 5} và B = { 6, 7, 8}, thì hợp của A và B là cho bởi A ∪ B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}.
Phép giao
Cho hai tập hợp A và B, A∩B (cách đọc là A giao B) là tập hợp gồm các phần tử chung thuộc 2 tập hợp A và B. Số phần tử của A∩B chính là n(A∩B) = n(A)+n(B)−n(A∪B), trong đó n(X) là số phần tử của tập hợp X.
Để hiểu rõ hơn về giao các tập hợp, chúng ta hãy xem xét một ví dụ: Nếu A = {0, 3, 5} và B = {3, 4, 5, 7} thì giao điểm của A và B là A ∩ B = {3, 5}.
Phép hiệu
Hiệu giữa tập hợp A và tập hợp B có ký hiệu là A∖B liệt kê tất cả các phần tử thuộc tập hợp A nhưng lại không thuộc tập hợp B.
Để hiểu rõ hơn về tập hợp này, chúng ta hãy xem xét một ví dụ: Nếu A = {0, 2, 3, 4} và B = {3, 4, 5, 8}, thì hiệu giữa tập hợp A và B là A∖B = {0, 2}.
Phép lấy phần bù
Cho A là tập con của tập hợp E. Phần bù của A trong tập hợp X là X∖A, ký hiệu là CXA là tập hợp cả các phần tử của tập E mà không là phần tử của A.
Để hiểu tập hợp này của phần bù, chúng ta hãy xem xét một ví dụ: Cho tập A={0;3;4}, B={1;2} thì CAB =A∖B={3;4}
Mối quan hệ giữa các tập hợp số
Tập hợp con
Chúng ta gọi A là tập hợp con của tập B nếu mọi phần tử của A đều thuộc B, kí hiệu như sau: A ⊂ B ⇔ x ∈ A => x ∈ B
Quan hệ bao hàm giữa các tập hợp vs nhau là : N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Hai tập hợp bằng nhau
Nếu tất cả các phần tử của tập hợp A và tập hợp B đều giống nhau, hai tập hợp này được gọi là bằng nhau và có kí hiệu là A = B. Biểu thị như sau:
A = B ⇔ A ⊂ B và B ⊂ A.
Biểu đồ Ven
Người ta thường dùng một đường cong khép kín giới hạn trên một phần của mặt phẳng để minh họa 1 tập hợp. Các điểm nằm trên phần mặt phẳng này dùng để biểu thị các phần tử của tập hợp ấy.
Mối quan hệ giữa các tập hợp được thể hiện trực quan qua biểu đồ Ven.
Thuộc tính của phép toán tập hợp
Tính chất của phép toán tập hợp giống như tính chất của phép toán cơ bản trên số. Các thuộc tính quan trọng gồm có:
- Luật giao hoán: Đối với 2 tập hợp A và B bất kì, tính chất giao hoán được định nghĩa như sau:
A ∪ B = B ∪ A
Điều này có nghĩa là phép toán tập hợp của phép hợp 2 tập hợp là giao hoán.
A ∩ B = B ∩ A
Điều này có nghĩa là phép toán tập hợp giao của 2 tập hợp là giao hoán.
- Luật kết hợp – Đối với 3 tập hợp đã cho bất kỳ A, B và C, tính chất kết hợp được định nghĩa như sau:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
Điều này nghĩa là phép toán tập hợp của phép hợp các tập hợp chính là phép toán kết hợp.
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Điều này có nghĩa là phép toán tập hợp giao của các tập hợp chính là phép toán kết hợp.
- Định luật De-Morgan phát biểu rằng đối với 2 tập hợp A và B bất kỳ, chúng ta có (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ và (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
Các dạng bài tập về tập hợp thường gặp
Dạng 1: Viết tập hợp
– Để viết tập hợp có số ít phần tử, ta thường sử dụng cách liệt kê hết các phần tử của tập hợp đó
– Để viết tập hợp có nhiều phần tử hoặc có vô số các phần tử, ta sử dụng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp đó
Ví dụ: Viết tập hợp E các số tự nhiên lớn hơn 5 và nhỏ hơn 15 bằng 2 cách.
Trả lời:
*Cách 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp
Tập hợp E các số tự nhiên lớn hơn 5 và nhỏ hơn 10 là: E = {6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14}
*Cách 2: Chỉ ra = tính chất đặc trưng của các phần tử thuộc tập hợp.
Tập hợp E các số tự nhiên lớn hơn 5 và nhỏ hơn 10 là: E = {x “thuộc” N | 5 < x < 15}
Dạng 2: Xác định số phần tử của tập hợp
Đối với tập hợp có hữu hạn các phần tử, để tính số phần tử của tập hợp đó, ta làm theo 2 cách:
- Cách 1: Viết tập hợp dưới dạng liệt kê các phần tử và đếm số phần tử
- Cách 2: Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử thuộc tập hợp, tìm quy luật rồi tính được số phần tử của tập hợp.
Giả sử, tập hợp các số từ số a đến số b là dãy số cách đều, khoảng cách giữa hai số liên tiếp của dãy là c thì tập hợp đó có (a – b) : c + 1 phần tử
Ví dụ: Hãy tính số phần tử của tập hợp E gồm các số tự nhiên chẵn, liên tiếp từ 1990 – 3000.
Trả lời: Các số tự nhiên chẵn liên tiếp từ 1990 – 3000 hơn kém nhau 2 đơn vị. Do đó số phần tử của tập hợp E là: (3000 – 1990) : 2 + 1 = 506 phần tử.
Dạng 3: Tập hợp con
- Để chứng minh tập hợp B là tập con của tập A, ta cần chỉ ra mỗi phần tử của tập B đều thuộc tập A.
- Để viết một tập con của tập hợp A cho trước, ta cần liệt kê các phần tử của tập A, mỗi tập hợp gồm một số phần tử của tập A sẽ là tập con của tập hợp A.
Lưu ý: Số phần tử tập con của tập hợp A không vượt quá số phần tử của tập hợp A.
Ví dụ: Cho tập hợp E = {Nho; Mận; Hồng; Đào}. Hãy viết tất cả các tập hợp con có 3 phần tử của E.
Trả lời: Các tập hợp con có 3 phần tử của E là: {Nho; Mận; Đào}, {Mận; Hồng; Đào}, {Nho; Mận; Hồng}, {Nho; Hồng; Đào}.
R là tập hợp số gì? Số thực R gồm số nào? Cho ví dụ
Số thực là gì? Gồm những số nào? Tính chất và ví dụ về số thực
Như vậy là bài viết đã thông tin đến bạn đọc về kiến thức toán học Tập hợp là gì, gồm những tập hợp nào và các phép toán tập hợp cũng như các bài tập minh họa. Hy vọng các bạn đã hiểu và phân biệt được các tập hợp toán học. Từ đó ứng dụng vào giải chính xác các bài tập về tập hợp.
