Bất đẳng thức, hằng đẳng thức là gì? Tổng hợp các tính chất

Bất đẳng thức và hằng đẳng thức được coi là mảng kiến thức nền rất quan trọng mà chúng ta đã được học trong chương trình toán lớp 8 đến lớp 10 có. Phân kiến thức này có liên quan hầu hết đến các dạng bài tập trong chương trình Toán trung học cơ sở và trung học phổ thông. Bài viết này sẽ giúp các bạn hiểu được bất đẳng thức là gì, hằng đẳng thức là gì, tính chất và các dạng bất đẳng thức thường gặp để áp dụng giải bài tập dễ dàng nhất.

Bất đẳng thức là gì?

Bất đẳng thức là một mệnh đề xác định có các dạng như sau A > B, A < B, A ≥ B, A ≤ B. Trong đó, A và B là những biểu thức bất kỳ có chứa số và phép toán. 

Biểu thức A được gọi là vế trái của bất đẳng thức, biểu thức B gọi là vế phải của bất đẳng thức.

Từ định nghĩa, ta sẽ có một số hệ quả bất đẳng thức như sau:

Hệ quả bất đẳng thức

• Trong trường hợp mệnh đề “A < B => C < D” được xác định là mệnh đề đúng thì chúng ta có thể kết luận rằng bất đẳng thức C < D là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức A < B. 
• Còn nếu “A < B => C < D” và “C < D => A < B” đều là mệnh đề đúng thì chúng ta có thể nói rằng 2 bất đẳng thức A < B và C < D có giá trị tương đương. Ký hiệu là: A < B ⇔ C < D.

Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức 

Dưới đây là một số các tính chất thường gặp nhất của bất đẳng thức:

Tính chất bắc cầu

Đầu tiên, tính chất của bất đẳng thức là tính bắc cầu. Cụ thể, nếu ta có cùng lúc hai biểu thức A < B và B < C thì chúng ta có thể suy ra được A < C. 

Tính chất cộng 2 vế của bất đẳng thức với 1 số

Tính chất cộng 2 vế của bất đẳng thức với cùng 1 số khá đơn giản. Các bạn chỉ cần nhớ như sau: 

A < B ⇔ A + C < B + C. 

Tính chất cộng 2 bất đẳng thức cùng chiều

Nếu dữ kiện cho 2 bất đẳng thức cùng chiều A < C và B < D, ta sẽ kết luận được A + C < B + D. 

Tính chất nhân 2 vế của bất đẳng thức với cùng một số

Nếu đề bài cho A < B và C > 0 thì ta sẽ có được AC < BC. Trong trường hợp A < B và C < 0, thì ta kết luận AC > BC.

Tính chất nhân hai bất đẳng thức cùng chiều

Nếu dữ kiện cung cấp 0 < A < B và 0 < C < D thì áp dụng tính chất nhân hai bất đẳng thức cùng chiều, ta được kết quả AC < BD.

Tính chất nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa

Khi A, B > 0, trong đó n ∈ N∗ thì ta sẽ được:

Tính chất khai căn 2 vế của bất đẳng thức

Khi A, B > 0, trong đó n ∈ N∗ thì ta sẽ được:

Ngoài ra, chúng ta còn có Bất đẳng thức Côsi và Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối cũng khá hay gặp

Một số bất đẳng thức phụ thường gặp

7 Hằng đẳng thức đáng nhớ là gì?

Trong toán học sơ cấp, 7 hằng đẳng thức đáng nhớ là những đẳng thức cơ bản nhất mà bất kỳ ai học toán cần phải nắm vững. Các đẳng thức được chứng minh thông qua phép nhân đa thức với đa thức

Những đẳng thức này được ứng dụng trong các bài toán liên quan đến giải phương trình, nhân chia các đa thức và biến đổi biểu thức tại cấp THCS và THPT. Việc học thuộc 7 hằng đẳng thức đáng nhớ sẽ giúp giải nhanh những bài toán phân tích đa thức thành nhân tử.

7 Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ 

Bình phương của một tổng

(A + B)² = A² + 2AB + B² 

Giải thích: Bình phương của một tổng tính bằng bình phương của số thứ nhất cộng với hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai, rồi cộng với bình phương của số thứ hai.

Bình phương của một hiệu

(A – B)² = A² – 2AB + B²

Giải thích: Bình phương của một hiệu được tính bằng bình phương của số thứ nhất trừ đi hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai, và cộng với bình phương của số thứ hai.

Hiệu của hai bình phương

A² – B² = (A – B)(A + B)

Giải thích: Hiệu hai bình phương của hai số sẽ bằng hiệu của hai số đó nhân với tổng của hai số đó. 

Lập phương của một tổng

(A + B)3 = A3 + 3A2B +3AB2 + B3

Giải thích: Lập phương của tổng của hai số sẽ bằng lập phương của số thứ nhất cộng với 3 lần tích của bình phương số thứ nhất nhân cho số thứ hai, cộng với 3 lần tích của số thứ nhất nhân với bình phương của số thứ hai, và sau đó cộng với lập phương của số thứ hai.

Lập phương của một hiệu

(A – B)3 = A3 – 3A2B +3AB2 – B3

Giải thích: Lập phương một hiệu của 2 số sẽ bằng lập phương của số thứ nhất trừ đi 3 lần tích của bình phương số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với 3 lần tích của số thứ nhất nhân với bình phương của số thứ hai, rồi sau đó trừ đi lập phương của số thứ hai.

Tổng của hai lập phương

A3 + B3 = (A + B)(A2 -AB + B2)

Giải thích: Tổng hai lập phương của 2 số sẽ bằng tổng của số thứ nhất cộng với số thứ hai, rồi nhân với bình phương thiếu của hiệu số thứ nhất và số thứ hai.

Hiệu của hai lập phương

A3 – B3 = (A – B)(A2 +AB + B2)

Giải thích: Hiệu hai lập phương của 2 số sẽ bằng hiệu của số thứ nhất trừ đi số thứ hai, sau đó nhân với bình phương thiếu của tổng số thứ nhất và số thứ hai.

Một số công thức hằng đẳng thức mở rộng

Từ công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ trong toán học, người ta đã mở rộng các hằng đẳng thức liên quan đến các hằng đẳng thức trên:

Vai trò của hằng đẳng thức đáng nhớ

+ Trong toán học sơ cấp, 7 hằng đẳng thức đáng nhớ là những đẳng thức cơ bản nhất mà mỗi người học toán cần phải nắm vững bởi chúng được sử dụng thường xuyên trong các bài toán liên quan đến nhân chia đa thức,  giải phương trình, biến đổi biểu thức tại cấp học THCS và THPT.

+ Học thuộc 7 hằng đẳng thức đáng nhớ giúp học sinh giải nhanh những bài toán phân tích đa thức thành nhân tử.

+ Khi đã nắm chắc cách dùng cũng như hiểu bản chất của bảy hằng đẳng thức đáng nhớ thì việc vận dụng tốt bảy hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán là điều dễ dàng, học sinh sẽ tiết kiệm được thời gian, công sức trong việc giải bài tập, cách giải sẽ dễ hiểu và hạn chế được những sai sót khi biến đổi công thức

Số thực là gì? Gồm những số nào? Tính chất và ví dụ về số thực

Trên đây là những thông tin cơ bản nhất về bất đẳng thức và hằng đẳng thức đáng nhớ. Để học tốt môn toán, các bạn học sinh buộc phải hiểu chính xác về bất đẳng thức, hằng đẳng thức cũng như học thuộc công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để ứng dụng để giải phương trình, nhân chia các đa thức, biến đổi biểu thức,…Chúc bạn có những giờ học Toán vui vẻ và đạt hiệu quả cao.