Bài tập về cát tuyến trong đường tròn là dạng bài tập phổ biến trong chương trình môn toán ở phổ thông tuy nhiên không phải em học sinh nào cũng nắm vững về vấn đề này. Hãy cùng Palada.vn ôn lại kiến thức về đường cát tuyến là gì, cát tuyến đường tròn là gì để có thể làm tốt hơn loại bài tập này nhé.
Đường cát tuyến là gì?
Cát tuyến là một từ có gốc Hán – Việt. Trong đó “cát” có nghĩa là cắt, còn “tuyến” thì có nghĩa là đường thẳng. Bởi vậy, cát tuyến có thể hiểu là một đường thẳng cắt các đường khác (cắt đường thẳng, đường tròn và đường cong).
Theo khái niệm trong sách giáo khoa môn toán, thì cát tuyến chính là đường thẳng mà cắt một đường thẳng khác.
Cát tuyến của đường tròn thì chính là đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt. Cát tuyến của 2 đường thẳng là đường thẳng cắt 2 đường thẳng đó. Một vài trường hợp đặc biệt có thể kể tới đó chính là cát tuyến đi qua tâm đường tròn.
Bài tập sau đây của Palada.vn sẽ giới thiệu với các em về dạng cát tuyến đường tròn để có thể dễ dàng hình dung.
Công thức tính chu vi tam giác thường, vuông, cân, đều trong Toán học
Bài tập về cát tuyến đường tròn
Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O) hãy vẽ đường cát tuyến đi qua 3 điểm M, C, D không đi qua tâm O và vẽ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O). Ở đây ta có 2 điểm A, B là các tiếp điểm và điểm C nằm giữa M, D.
- a) Chứng minh rằng: MA * MA = MC * MD.
- b) Gọi I là trung điểm của đoạn CD. Chứng minh rằng: 5 điểm M, A, O, I, B là cùng nằm trên 1 đường tròn.
- c) Gọi điểm H là giao điểm của đoạn thẳng AB và đoạn thẳng MO. Chứng minh rằng tứ giác CHOD là nội tiếp và đường AB là đường phân giác của góc CHD.
- d) Gọi điểm K là giao điểm của các đường tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). Chứng minh rằng: 3 điểm A, B, K là thẳng hàng với nhau.
Tính chất đường trung trực của tam giác, định nghĩa và bài tập
Lời giải:
- a) Ta có MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) (giả thiết đã cho)
→ góc MAC = góc MDA → △ MAC đồng dạng với △ MDA (góc – góc)
Ta có MA/MD = MC/MA (theo tính chất của cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
Vậy suy ra MA2 = MC * MD (điều phải chứng minh)
- b) Ta có I là trung điểm của đoạn CD (giả thiết đã cho)
→ Góc MIO = 900 = góc MAO và cũng bằng góc MBO
→ 5 điểm M, A, I, O, B cùng thuộc đường tròn có đường kính MO.
- c) Có MA ⊥ OA, OM ⊥ AB tại H
→ MH * MO = MA2 = MC * MD
→ MA/MD = MC/MA → △ MHC đồng dạng với △ MDC → góc MHC = góc MDO
Ta có Tứ giác HCDO nội tiếp đường tròn
→ Góc OHD = góc ODC = góc MHC = góc OCD
→ 900 – góc CHM = 900 – góc OHD
→ góc CHB = góc BHD
→ HB là đường phân giác của góc CHD.
- d) Có KC và KD là hai đường tiếp tuyến cắt nhau tại K của đường tròn (O)
→ Tứ giác CODK nội tiếp đường tròn (hay 4 điểm C, O, K, D cùng thuộc một đường tròn)
mà ta lại có tứ giác ODCH nội tiếp đường tròn (theo chứng minh trên) (hay 4 điểm O, H, D, C cùng thuộc một đường tròn)
→ 5 điểm K, C, O, H, D cùng thuộc một đường tròn
→ HK là đường phân giác của góc CHD (do KC = KD)
Vậy ta có 3 điểm A, B, K thẳng hàng.
Bài tự luyện tập: Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) kẻ hai đường tiếp tuyến AB, AC (với B, C là các tiếp điểm) và cát tuyến AED đến đường tròn (O) (điểm E; D thuộc (O), E nằm giữa A; D).
- a) Chứng minh: BD * CE bằng BE * CD
- b) Gọi điểm H là giao điểm của OA và BC. Hãy chứng minh tứ giác OHED là tứ giác nội tiếp.
- c) Chứng minh rằng: HC2 = HE * HD
Góc CDA = góc BDH.
Trên đây là tổng hợp lại kiến thức về cát tuyến đường tròn là gì cùng với bài luyện tập giúp các em học sinh và cả các vị phụ huynh tham khảo. Ngoài ra trên Palada.vn còn rất nhiều bài học bổ ích về các môn học khác như Vật lý, Hóa học, Ngữ Văn… Chúc các em áp dụng thành công và nếu còn bất kỳ thắc mắc gì hãy để lại bình luận bên dưới Palada.vn sẽ giải đáp.
