Một trong những dạng bài toán hình học phổ biến nhất và cũng không kém phần khó nhằn với các học sinh trong chương trình toán phổ thông thường là các bài toán liên quan đến trọng tâm với dạng bài thường gặp nhất là trọng tâm hình tam giác. Chính vì thế nên hôm nay Palada.vn xin gửi đến bạn một bài viết tổng quát nhất về trọng tâm là gì, trọng tâm là giao điểm của ba đường gì cũng như các công thức liên quan. Mời các bạn chú ý theo dõi.
Tóm tắt
Trọng tâm là gì?
Theo sách giáo khoa hiện nay, từ năm lớp 7 học sinh đã được tiếp xúc với khái niệm trọng tâm là gì. Định nghĩa về trọng tâm được sách giáo khoa cho biết như sau: “Trong 1 tam giác sẽ có 3 đường trung tuyến. 3 đường trung tuyến này cùng đi qua một điểm, điểm này được ta gọi là trọng tâm của tam giác”.
Lấy ví dụ tam giác ABC dưới đây với 3 đường trung tuyến là AM, BN, CP. 3 đường trung tuyến của tam giác này lần lượt đi qua giao điểm G. Điểm G là trọng tâm của ABC.
Cách xác định trọng tâm tam giác
Trọng tâm của hình tam giác có một tính chất vô cùng quan trọng cần nhớ như sau: “Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến 3 đỉnh hình tam giác đó bằng ⅔ độ dài đường trung tuyến tương ứng với đỉnh đó”.
Từ tính chất này, ta sẽ có 2 cách để xác định trọng tâm của một tam giác. Lấy ví dụ tam giác ABC có 3 đường trung tuyến AM, BN, CP, điểm G là trọng tâm của tam giác ABC.
Cách 1:
- Xác định trung điểm M của BC, M chia BC thành 2 đoạn MB và MC bằng nhau.
- Nối A với trung điểm M, ta có AM là đường trung tuyến.
- Thực hiện xác định trung điểm các cạnh còn lại và nối đỉnh tương ứng với các trung tuyến khác.
- Giao điểm của 3 đường trung tuyến này gọi là G. Ta chứng minh được G là trọng tâm của ABC.
Cách 2:
- Xác định trung điểm M của cạnh BC sao cho M chia BC thành 2 đoạn MC, MB bằng nhau.
- Nối A với trung điểm M, ta có đường trung tuyến là AM.
- Trên đường trung tuyến AM, chọn điểm G sao cho có AG = ⅔ AM.
- Dựa trên tính chất của trọng tâm tam giác => G chính là trọng tâm của ABC.
Công thức tính chu vi tam giác thường, vuông, cân, đều trong Toán học
Trọng tâm tam giác của các hình đặc biệt
Trọng tâm vốn là một điểm đặc biệt và trọng tâm trong các trường hợp tam giác đặc biệt như tam giác vuông, tam giác cân hay tam giác đều còn khiến đường trung tuyến ứng với trọng tâm có thêm vài vai trò khác nhau trong một hình.
Dưới đây là một số ví dụ về trọng tâm trong các hình đặc biệt mà rất có thể các em học sinh sẽ gặp trong chương trình của mình:
Trọng tâm của tam giác vuông
Ta có hình tam giác ABC, vuông tại B. Từ B ta vẽ đường trung tuyến BA, sao cho A chia CD thành hai đoạn bằng nhau AD = AC. Do BA là trung tuyến của góc vuông ta có BA = ½ CD, tức BA = AC = AD. Từ đó ta có hai hình tam giác ABD và tam giác ABC sẽ cân tại A.
Trọng tâm của hình tam giác cân
Tiếp tục ta sẽ lấy ví dụ về tam giác ABC cân tại A. Gọi điểm G là trọng tâm của tam giác cân ABC. Do tam giác ABC cân tại điểm A nên AG lúc này vừa đóng vai trò là đường trung tuyến, lại cũng là đường cao và còn là cả đường phân giác của ABC. Ta có hệ quả từ trọng tâm như sau:
- Góc BAG bằng Góc CAG
- Trung tuyến AG sẽ vuông góc với cạnh BC
Trọng tâm của tam giác đều
Giả sử hình tam giác đều ABC có điểm G là giao điểm của ba đường trung tuyến. Do tính chất đặc biệt của hình tam giác đều (có 3 cạnh bằng nhau) nên G có tới 4 vai trò: vừa là trọng tâm, là trực tâm, là tâm đường tròn ngoại và nội tiếp của ABC.
Trọng tâm của hình tứ diện
Khi lên đến các bậc học cao hơn, các em học sinh sẽ được tiếp xúc với nhiều loại trọng tâm khó hơn. Điển hình như là với các bài tập về trọng tâm trong hình tứ diện.
Giả sử ta có hình tứ diện ABCD với điểm G là trọng tâm. Trọng tâm của hình tứ diện ABCD này chính là giao điểm của 4 đường thẳng nối đỉnh và điểm trọng tâm của các tam giác đối diện với nhau.
Hình chiếu là gì? Phân loại và cách xác định hình chiếu
Bài luyện tập về trọng tâm tam giác
Để hiểu rõ hơn về khái niệm trọng tâm, các em học sinh có thể tham khảo bài tập sau đây:
Tam giác ABC có đường trung tuyến BM bằng CN. Hai trung tuyến trên giao nhau tại điểm G. Bạn hãy chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.
Bài giải:
- Do BM và CN là trung tuyến của tam giác ABC, cắt nhau tại điểm G nên BG/BM = CG/CN = ⅔
- Do BM bằng CN suy ra BG bằng CN và GN bằng GM
- Trong tam giác BNG và tam giác CGM ta có: BG = CN, GN = GM và góc BGN bằng góc CGM (là góc đối đỉnh)
- Như vậy, tam giác BNG và tam giác CGM đồng dạng suy ra BN = CM suy ra AB = AC. Như vậy chứng minh được ABC là tam giác cân tại A.
Vậy là với các kiến thức cơ bản đã điểm lại và bài tập luyện tập nói trên, Palada.vn hi vọng các em học sinh đã có cho mình sự hiểu biết nhất định về khái niệm trọng tâm. Nắm vững những kiến thức nêu trên có thể giúp ích rất nhiều trong việc giải các bài tập hình học mức độ từ cơ bản đến nâng cao. Mong là các em sẽ vận dụng hợp lý để đạt được kết quả cao nhất trong các kì thi. Ngoài ra đừng quên đón đọc các bài viết tiếp theo trên Palada.vn nhé.
