Đồ thị được sử dụng khác nhiều trong toán học và tin học. Đây là đối tượng nghiên cứu cơ bản của lý thuyết đồ thị. Tùy theo ứng dụng mà đồ thị cũng có những biến tấu khác nhau.
Tóm tắt
Đồ thị là gì?
Trong lý thuyết đồ thị, đồ thị đại diện cho một tập hợp các đối tượng liên quan với nhau theo một nghĩa nào đó. Các đối tượng về này cơ bản là các khái niệm toán học, được biểu thị bằng các đỉnh hoặc các nút, thể hiện mối quan hệ giữa các cặp nút, được biểu thị bằng các cạnh.
Lý thuyết đồ thị nghiên cứu về mối quan hệ giữa các đỉnh (nút) và các cạnh (đường). Trong Toán học, đồ thị được biểu diễn bằng hình ảnh đại diện cho sự thật Toán học. Lý thuyết đồ thị là nghiên cứu về mối quan hệ giữa các đỉnh (nút) và các cạnh (đường).
Về mặt hình thức, một đồ thị được biểu thị bằng một cặp G (V, E).
Trong đó V đại diện cho các đỉnh của tập hữu hạn, còn E đại diện cho các cạnh của tập hữu hạn.
Do đó, chúng ta có thể nói một đồ thị sẽ bao gồm tập các đỉnh V và tập các cạnh E không rỗng.
Ví dụ
Giả sử, một Đồ thị G = (V, E), trong đó
- Các đỉnh, V = {a, b, c, d}
- Các cạnh, E = {{a, b}, {a, c}, {b, c}, {c, d}}
Lịch sử ra đời của đồ thị
Đồ thị được nghiên cứu bởi nhà toán học Thụy Sĩ nổi tiếng tên là Leonhard Euler, nhằm giải quyết các vấn đề toán học bằng cách xây dựng đồ thị dựa trên dữ liệu cho trước hoặc một tập hợp các điểm. Biểu diễn đồ thị cho thấy các loại dữ liệu khác nhau dưới dạng biểu đồ thanh, biểu đồ đường, bảng tần số, biểu đồ hình tròn, biểu đồ đường,…
Có những loại đồ thị nào?
Đồ thị vô hướng
Đồ thị vô hướng hay đồ thị G là một cặp không có thứ tự (unordered pair) G=(V, E), trong đó
- V là tập các đỉnh hoặc nút
- E là tập hợp các cặp không thứ tự chứa các đỉnh phân biệt, được gọi là cạnh. Hai đỉnh thuộc một cạnh được gọi là đỉnh đầu cuối của cạnh đó.
Tập các cạnh bao gồm cả các cặp đỉnh không phân biệt được gọi là các khuyên. V và E thường là các tập hữu hạn
Đồ thị có hướng
Đồ thị có hướng G là cặp có thứ tự G=(V, A), trong đó
- V là tập các đỉnh hoặc nút
- A là tập các cặp cạnh có thứ tự chứa các đỉnh, được gọi là các cạnh có hướng hoặc cung. Một cạnh e = (x, y) được coi là có hướng từ x tới y; x được gọi là điểm đầu/gốc còn y được gọi là điểm cuối/ngọn của cạnh.
Đơn đồ thị và Đa đồ thị
- Đơn đồ thị là đồ thị không có khuyên và không có các cạnh song song.
- Đa đồ thị là đồ thị không thỏa mãn đơn đồ thị.
- Đa đồ thị có hướng là một đồ thị có hướng, mà nếu x và y là hai đỉnh thì đồ thị được phép có cả 2 cung (x, y) và (y, x).
- Đơn đồ thị có hướng (hay Đa đồ thị có hướng) là một đồ thị có hướng, mà nếu x và y là hai đỉnh thì đồ thị chỉ được phép có một trong hai cung (x, y) hoặc (y, x).
- Quiver được coi là một đồ thị có hướng. Nhưng trong thực hành, nó là một đồ thị có hướng với các không gian vector gắn với các đỉnh và các biến đổi tuyến tính gắn với các cung.
Xem thêm: Đường kính là gì? Cách tìm đường kính khi biết bán kính, diện tích
Đồ thị hỗn hợp
Đồ thị hỗn hợp G là một bộ 3 có thứ tự G:= (V,E,A) với V, E và A được định nghĩa như trên.
Các loại đồ thị khác
- Null Graph: Loại đồ thị không có cạnh.
- Đồ thị đơn giản: Đồ thị vô hướng và không có bất cứ vòng lặp hoặc nhiều cạnh nào.
- Đa đồ thị: Loại đồ thị có nhiều cạnh giữa cùng tập hợp các đỉnh sẽ có các vòng lặp được hình thành.
- Đồ thị được kết nối: Loại đồ thị trong đó 2 đỉnh bất kỳ được nối với nhau bằng một đường dẫn.
- Đồ thị ngắt kết nối: Loại đồ thị trong đó 2 đỉnh hoặc nút bất kỳ bị ngắt kết nối bởi một đường dẫn.
- Đồ thị chu kỳ: Loại đồ thị hoàn thành một chu trình.
- Đồ thị hoàn chỉnh: Khi mỗi cặp đỉnh được nối với nhau bằng 1 cạnh thì đồ thị đó được gọi là đồ thị hoàn chỉnh
- Đồ thị phẳng: Khi không có 2 cạnh nào của đồ thị cắt nhau và tất cả các đỉnh và cạnh đều được vẽ trong cùng một mặt phẳng thì được gọi là đồ thị phẳng
Điểm uốn của đồ thị là gì?
Điểm U(x0; f(x0)) được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm x0 sao cho trên một trong hai khoảng (a;x0) và (x0;b) tiếp tuyến của đồ thị tại điểm U nằm phía trên đồ thị và trên khoảng tia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị.
Định lý: Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa điểm x0, f’’(x0) =0 và f’’(x) đổi dấu khi x qua điểm x0 thì điểm U(x0; f(x0)) là một điểm uốn của đồ thị hàm số y=f(x)
Làm cách nào để tìm điểm uốn trên đồ thị?
Điểm uốn được định nghĩa là một điểm trên đường cong mà trọng lực thay đổi (tức là dấu hiệu của sự thay đổi độ cong). Ta biết rằng nếu f ”> 0 thì hàm số lồi lên và nếu f” <0 thì hàm số lõm xuống. Nếu hàm số chuyển từ dương sang âm hoặc từ âm sang dương tại 1 điểm cụ thể x = c, thì điểm đó chính là điểm uốn cần tìm trên đồ thị.
Tịnh tiến đồ thị là gì?
Phép tịnh tiến đồ thị hàm số được định nghĩa như sau:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đồ thị (G) của hàm số y = f(x); p và q là 2 số dương bất kỳ. Khi đó:
1) Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì ta có đồ thị của hàm số y = f(x) + q.
2) Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì ta có đồ thị của hàm số y = f(x) – q.
3) Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì ta có đồ thị của hàm số y = f(x+p).
4) Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì ta có đồ thị của hàm số y = f(x – p ).
Thuộc tính của đồ thị
Đồ thị hàm số có những thuộc tính cơ bản sau:
- Điểm bắt đầu được gọi là gốc.
- Khi các loại nút giống nhau được kết nối với nhau thì đồ thị được gọi là đồ thị không phân loại, nếu không sẽ được gọi là đồ thị phân loại.
- Đồ thị chu trình được cho là đồ thị chỉ có 1 chu trình duy nhất.
- Khi tất cả các cặp nút được nối với nhau bằng 1 cạnh duy nhất, nó sẽ tạo thành một đồ thị hoàn chỉnh.
- Một đồ thị được cho là đối xứng với nhau khi mỗi cặp đỉnh hoặc nút được kết nối theo cùng một hướng hoặc theo hướng ngược lại.
- Khi một đồ thị có 1 đồ thị duy nhất, nó là một đồ thị đường dẫn.
Giải đáp một số câu hỏi về đồ thị
- Đồ thị hữu hạn là gì?
Một đồ thị có số đỉnh và số cạnh hữu hạn chính là đồ thị hữu hạn.
- Đồ thị rỗng có bao nhiêu cạnh?
Một đồ thị rỗng sẽ không có cạnh.
- Nếu tung độ của đỉnh là 4 thì nó là đỉnh gì?
Nếu tung độ của đỉnh là 4 thì nó là đỉnh chẵn.
- Một đồ thị đơn giản là đồ thị có hướng hay vô hướng?
Một đồ thị đơn giản là đồ thị vô hướng và không có nhiều cạnh.
- Nếu 2 cạnh của một đồ thị được nối với nhau bởi 1 đỉnh duy nhất, chúng được gọi là các cạnh kề nhau. Đúng hay sai?
Đúng
Như vậy là bài viết đã vừa cung cấp cho bạn đọc những thông tin cơ bản và đầy đủ nhất về đồ thị hàm số mà chúng ta đã được học trong chương trình Toán lớp 7. Các bạn học sinh cần nắm chắc kiến thức lý thuyết của đồ thị hàm số để vận dụng vào giải các bài tập một cách hiệu quả và dễ dàng hơn.
